Орнамент - двумерная структура
В теории симметрии и декоративно-прикладном искусстве наиболее интересная область для исследований - 17 групп симметрии декоров, двумерные групп симметрии без инвариантных линий и точек. Общей характеристикой таких декоров является наличие дискретного двумерного смещения подгрупп элементов. Все 17 примеров в рамках одной культуры обнаружить трудно, потому что во многих культурах с очень богато развитым орнаментальным искусством отсутствуют наиболее ранние образцы [1,2]. Данный факт подтверждается и тем, что математические исследования симметрии часто выявляют так называемый "новодел". То есть орнамент той или иной культуры, выдаваемый за древний, оказывается составленным не ранее 1890 года. Эта проблема существует давно и не раз упоминалась, например, в работах Е.С. Федорова (также C. Джордан, Л. Сонке).
Рис. 1. Образец орнамента с группой симметрии по типу p1. Эпоха палеолита, Европа.
В декоративном искусстве палеолита мы можем выделить примеры только девяти групп симметрии: p1, p2, pm, pmm, pmg, cm, cmm, p4m и p6m [3]. В неолитической фазе мы находим появление пяти других групп орнаментальной симметрии: pg, pgg, p4, p4g и p6. Примеры групп орнаментальной симметрии p3, p3m1 и p31m встречаются в орнаментальном искусстве древних цивилизаций, а также, вероятно, в эпоху позднего неолита.
В орнаментальном искусстве эпохи палеолита и неолита, учитывая также строительные технологии этих двух эпох, мы можем различить четыре метода построения узоров: клонирование бордюров, клонирование розеток, метод решеток Браве и десимметризацию. Первый метод основан на поступательном повторении элементов орнамента путем дискретного переноса, не параллельной оси бордюра. В связи с простотой метода, он наиболее часто использовался при строительстве и декорировании. Клонирование розетки - метод, основанный на размножении композиции одной розетки путем двух дискретных ее трансляций. Свойства получаемой при этом симметрии орнамента полностью определяются геометрическими свойствами этих трансляций.
Внешний вид решеток Браве в искусстве орнамента эпохи палеолита основывается на природной модели: пчелиные соты, паучьи сети и другие подобные природные структуры. Популярность этого типа орнамента базируется на визуальной и конструктивной простоте решеток Браве. Наиболее часто встречаемые образцы орнаментации, построенной по типу решеток Браве, являются регулярные тесселяции {4,4}, {6,3} и {3,6}, которые относятся к группе симметрии по типу p4m и p6m. Метод становится еще более востребованным с появлением в эпоху неолита двухцветной керамики.
Орнаменты с группой симметрии p1 основываются на дискретном размножении бордюра с группой симметрии по типу 11 или размножением асимметричного рисунка путем двух дискретных переносов или отражений. Из-за низкой степени симметричности получаемых фигур такой метод использовался редко (редко встречается). Он чаще появляется в виде стилизованных асимметричных моделей, копирующих природу (рис. 1).
Украшения с группой симметрии p2 появляются в самой элементарной форме: в виде решетки параллелограммов. Изюминкой палеолитического орнамента являются украшения с использованием мотива меандров или двойной спирали, а также розеток с группой симметрии C2 (2). В этой связи наиболее часто встречающимся декоративным элементом эпохи неолита и распространенным почти во всех неолитических культурах является мотив волн.
Рис. 2. Примеры орнаментов с группой симметрии по типу p2 эпохи палеолита, принадлежащие к культуре Мезин (территория Украины) и культуре Альта (Россия), ок. о 23000-18000 до н.э.
Группа симметрии p2 крайне редко встречается в природе, потому украшения этой группы почти полностью ограничиваются мотивами либо геометрическими, либо символической стилизацией природных форм (рис. 2).
Орнаменты группы pm принадлежат к классу статичных украшений, основанных на геометрическом рисунке. Они часто строятся по принципу зеркального отражения сегментов относительно плоскости симметрии, повторяя некоторые природные формы.
Рис. 3. Примеры орнаментов с группой симметрии по типу pmg эпохи палеолита:
- a) Мезин, Украина;
- b) Западная Европа;
- c) Пернак, Эстония;
- d) Штетин.
Рис. 4. Примеры регулярной тесселяции симметрии по типу p6m:
- a) (6,3), Елисеевичи, Россия, 10000 до н.э.;
- b) регулярная тесселяция (3,6).
Группы симметрии по типу pmm и pmg преобладают в декоративном искусстве палеолита и неолита, встречаются в большом разнообразии. Оба орнамента строятся путем поступательного клонирования шаблона. Тип pmg - это почти всегда геометрический орнамент (например, стилизация волн), построенный на основе зеркального отражения. Волнообразные композиции встречаются в различных вариациях и выражают определенный баланс между статичной визуальной составляющей и динамичным моментом (рис. 3).
Статичные узоры pmm на основе отражений реализуются в самой ранней своей форме в виде прямоугольной решетки. Разнообразие других форм получается путем клонирования элементарных бордюров с группой симметрии mm путем трансляции относительно основной оси бордюра. Розетки с группой симметрии D2 (2m) клонируются относительно двух перпендикуляров к оси бордюра.
Узоры типа cmm в палеолитическом искусстве появляются в виде ромбической решетки. Они могут образовываться из орнамента типа pmm путем центрирования, то есть в порядке, в котором пробелы между розетками D2 (2m) заполняются другим подобным орнаментом. Узоры типа cm получаются аналогично pm, то есть центрированием.
Симметрия групп орнаментов типа p4m and p6m соответствует регулярной тесселяции {4,4}, {6,3} и {3,6}. Регулярная мозаика, состоящая из правильных шестиугольников, происходит, скорее всего, от природной модели, например, пчелиные соты.
Универсальная характеристика всех разновидностей палеолитического орнамента - принцип визуальной энтропии, максимальная визуальная и конструктивная простота, максимальная симметрия. Среди образцов палеолитического орнамента пять из девяти существующих групп симметрии строятся на основе решеток Браве, семь из девяти содержат отражение и относятся к классу статичного узора. В них почти полностью отсутствуют динамические элементы симметрии, такие, как полярные трансляции, полярные повороты и скользящие отражения.
В период неолита, напротив, мы имеем все остальные группы симметрии, причем орнаментальная антисимметрия занимает особое место в искусстве неолита. Появляется 46 групп антисимметричных схем орнаментации, в частности в декоративно-прикладном искусстве Ближнего и Среднего Востока. Если мы также отнесем антисимметричные группы p6m/p3m1 к классическим узорам, полученным методом десимметризации, то к 46 группам мы можем добавить еще и группу симметрии по типу p3m1.
Неолитическое декоративно-прикладное искусство является одним из богатейших источников различных разновидностей узоров за всю историю искусства орнамента. Образцы 14 групп орнаментальной симметрии и 23 группы антисимметричных орнаментов (рис. 5) являются наиболее полным свидетельством высокого художественного уровня народов эпохи неолита.
Рис. 5. Образцы 23-х антисимметричных групп узоров неолитического орнаментального искусства.
Вместе с тем наиболее проблематичными для чисто технического анализа являются группы симметрии типа p3, p3m1 and p31m. Они впервые появляются в декоративно-прикладном искусстве древних цивилизаций.
Весьма интересная и малоизученная область связана со знаниями геометрического построения на плоскости сложных узоров. Остаются открытыми вопросы датировки структур плоскостной симметрии и соответствующих им типов классической симметрии. Также интересен вопрос о связи искусства орнамента с календарными вычислениями и последовательностью натуральных чисел. Все эти и многие другие вопросы, имеющие отношение к истории математики в донаучный период, должны стать предметом исследования для математиков, археологов и специалистов других наук.
Список всех четырех глав:
Источники
- 1. Grunbaum B., The Emperor's New Clothes: Full Regalia, G string, or Nothing, Math. Inteligencer 6, 4 (1984), 47-53.
- 2. Grunbaum B., Grunbaum Z., Shephard G.C., Symmetry in Moorish and Other Ornaments, Com put. Math. Appl. 12B, 3/4 (1986), 641-653.
- 3. Jablan S.V., Theory of Symmetry and Ornament, Mathematical Institute, Beograd, 1995.
- 4. Shubnikov A.V., Koptsik V.A., Symmetry in Science and Art, Plenum, New York, London, 1974.
- 5. Coxeter H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, Cambridge, 1974.