Симметрия, виды симметрии и их использование

Греческое слово, означающее соразмерность. Под термином симметрия греки понимали "соразмерность художественных форм и частей художественного произведения. В настоящее время в слово симметрия вкладывается иное значение.

Симметрия отражения.

Если на плоскости проведена прямая mm' (рис.1) и вне ее дана точка А, то симметричной ей точкой относительно этой прямой будет точка А', лежащая на перпендикулярной mm' прямой Аа, по другую сторону от прямой на равном ей расстоянии: ВА'=BA. Прямая mm' называется осью симметрии точек А и А'. Симметрия на плоскости относительно прямой линии называется осевой симметрией, а также отражением от прямой: точка А' является как бы зеркальным отражением точки А. На рисунке справа - плоские фигуры с одной, двумя и тремя осями симметрии.

Аналогичной является симметрия отражения пространственной фигуры: например, если предмет состоит из двух зеркальных половин, то каждую из этих половин можно рассматривать как бы зеркальным отражением другой от воображаемой плоскости (зеркала); эта плоскость называется плоскостью симметрии. Симметрия относительно плоскости носит также название отражения в плоскости.

Центральная симметрия.

Точка A' (рис. 2) называется симметричной точке А относительно точки О, если О есть середина отрезка AA'; точка О называется центром симметрии. Два параллельных и равных между собой отрезка AB и A'B', но направленные в противоположные стороны называются обратнопараллельными. Обратная параллельность есть одно из характерных свойств фигур, обладающих центром симметрии.

Симметрия вращения.

Ось симметрии n-го порядка - линия при полном обороте вокруг которой плоская или пространственная фигура (рис. 3) несколько раз приходит в совмещение сама с собой (ось проходит через центр фигуры перпендикулярно плоскости изображения, т.е. на бумаге ось есть точка - проекция оси на плоскость - бумагу). Число совмещений при полном обороте называется порядком оси, а наименьший угол поворота, при котором фигура совмещается сама с собой, - элементарным углом поворота. На рисунке представлены изображения с осями симметрии следующих порядков: 2, 3, 4, 5, 6, 7 и соответственно элементарными углами поворота - 180, 120, 90, 72 градуса и т.д. Наряду с осью симметрии n-го порядка в каждом из приведенных изображений имеется несколько пересекающихся осей симметрии. Справа помещены два изображения, из которых верхнее можно рассматривать как имеющее ось симметрии 1-го порядка, нижнее - как имеющее ось симметрии 5-го порядка и не имеющие осей симметрии.

Бордюр

Бордюр - совокупность равных фигур, повторяющихся последовательно одна за другой вдоль прямой линии АВ (рис. 4) - оси переноса. Общее число всех возможных видов симметрии бордюров - семь:

• 1. Переноса; фигура приходит в совмещение сама с собой после переноса на расстояние а; создается впечатление поступательного движения.
• 2. Симметрия линии скользящего отражения: фигура переносится на расстояние а/2 и отражается; создается впечатление волнообразного движения.
• 3. Комбинация оси переноса с осями симметрии 2-го порядка (обозначены точками); эту комбинацию можно рассматривать как перенос двойных фигур (b и b'); создается впечатление взаимнообратного движения.
• 4. Комбинация оси переноса с поперечными осями симметрии (обозначены пунктиром); создается впечатление горизонтальности.
• 5. Комбинация оси переноса с продольной осью симметрии; создается впечатление вертикальности.
• 6. Комбинация линии скользящего отражения с осями симметрии 2-го порядка (при этом возникают поперечные оси симметрии); создается впечатление последовательного перевертывания.
• 7. Комбинация линии переноса с продольной и поперечными осями симметрии; создается впечатление статичности.

Лента.

Определение этого термина повлекло бы за собой введение новых терминов и понятий, излишних в нашей теме, а поэтому ограничимся приведением схем лент - 31 вида их симметрии.

Треугольники на рис. 5 как бы сделаны из картона, лицевая сторона которых черная, а обратная белая; треугольники с точкой имеют одинаковые поверхности. На рисунке 5 снизу даны примеры лент. На рисунке 6 показаны варианты получения симметрии лент при помощи вырезания из бумаги:

• 1. Бумагу перед вырезанием перегибают поперек один, два, три раза и т.д., благодаря чему образуются две, четыре, восемь и т.д. долей; линии перегиба соответствуют осям симметрии.
• 2. Бумагу перегибают несколько раз поперек, как и в предыдущем способе, и кроме того один раз вдоль, в связи с чем возникает еще и продольная ось симметрии.
• 3. Бумагу сворачивают трубочкой, благодаря чему образуются многослойные витки.