Бордюры - одномерные модели
В позднем палеолите (Мадленская культура, ок. 25000-10000 до н.э.) мы находим старейшие примеры групп симметрии бордюров, плоскостные образцы симметрии без инвариантной точки и линии. Все образцы соответствуют симметрийному ряду 11, 1g, 12, m1, 1m, mg и mm, но встречаются также две непрерывные группы симметрии по типу 0m1 and 0mm.
Бордюр обычно получается путем "размножения" - поступательного копирования начального мотива. Мотивы берутся, как правило, из природы: веточки деревьев, стебли растений (рис. 1).
Не могут быть, правда, проиллюстрированы примерами такие модели бордюров, которые хоть и взяты из природы, но являются чистыми производными: стадо оленей по группе симметрии типа 11, культовый танец по типу m1, стилизованные волны типа 12 и mg. Модели групп симметрии по типу 1g и 1m составляются равномерным распределением листьев растений. Наиболее часто встречаемая в природе группа симметрии типа D1 (m) и D2 (2m) оказала влияние на наиболее часто встречаемый орнамент с симметрией по типу D2 (2m). Симметрийные группы mm являются максимально дискретными группами, основанными на зеркальном отражении. Все остальные группы симметрий бордюров - это подгруппы группы mm. Таким образом, группа mm может служить для получения всех остальных групп симметричных бордюров. Примеры симметричных бордюров найдены почти во всех палеолитических орнаментах.
Рис. 1. Образцы искусства орнамента эпохи палеолита - бордюры с симметрией по типу 1g.
Встречаются также бордюры, в орнаментацию которых вложен определенный смысл. Они также основываются на природных моделях, но отражают не материальные формы или предметы, а определенную периодичность, например, периодическое изменение природных явлений (смена дня и ночи, приливы и отливы, фазы Луны). Такие орнаменты считаются наиболее древней попыткой визуальной регистрации периодически повторяющихся природных явлений, то есть первых календарей. А еще они могут свидетельствовать о начале понимания множества натуральных чисел.
Если это так, то символическое значение орнаментов могло быть средством визуальной коммуникации. Об этом свидетельствуют названия бордюров этнического орнаментального искусства, которыми пользуются до сих пор. В этой коммуникационной связи элементы орнамента бордюров эпохи палеолита практически без изменений перешли в неолит. Но с развитием других форм коммуникаций, орнамент постепенно утрачивал свою первоначальную функцию и становился декоративным. Начало этого процесса прослеживается в орнаментах с неолитических артефактов.
Среди геометрических свойств орнаментации бордюров особенно заслуживают внимания такие их свойства, как полярность, неполярность и биполярность оси отражения, наличие или отсутствие энантиоморфизма, наличие или отсутствие косвенной симметрии в рамках той или иной группы симметрии. Одновременно с чисто геометрическими свойствами необходимо обращать внимание и на визуальные характеристики, такие, как спектр символических значений, которым бордюр может быть наделен.
Рис. 2. Образцы антисимметричных групп орнаментов неолитического периода:
- a) Греция, 11/11, ок. 3000 до н.э.;
- b) Греция, 12/12;
- c) Ближний Восток, 12/11, ок. 5000 до н.э.;
- d) Ближний Восток, 1m11m, ок. 5000 до н.э.;
- e) Ближний Восток, 1m/11;
- f) Анатолия, 1m/1g, ок. 5000 до н.э.;
- g) Ближний Восток, m1/m1;
- h) Ближний Восток, m1/11;
- i) Греция, mg/m1;
- j) Ближний Восток, mg/1g, ок. 5000 до н.э.;
- k) Анатолия, mg/12;
- l) Халлаф, mm/mm, ок. 4900-4500 до н.э.;
- m) Хадлар, mm/m1, ок. 5500-5200 до н.э.;
- n) Ближний Восток, mm/mg.
Учитывая частоту встречаемости, исключая бордюры с мотивами, исходящими непосредственно из природных объектов, в искусстве орнамента преднаучного периода выделяются образцы, удовлетворяющие критерию визуальной энтропии [1]. Они являются доминирующими благодаря конструктивной простоте и максимальной симметричности.
Рис. 3. Примеры неолитического бордюра
Старейшими примерами антисимметричного бордюра являются так называемые "черно-белые" бордюры, относящиеся к эпохе неолита. Их всего 17 видов и дальнейшие исследования должны показать, происходят ли все остальные антисимметричные орнаментальные мотивы от них или нет. С учетом наиболее часто встречающихся образцов предлагается 14 групп орнаментов, изображенных на рис. 2.
Список всех четырех глав:
Использованные источники:
1. Jablan S.V., Theory of Symmetry and Ornament, Mathematical Institute, Beograd, 1995.