Симметрия розеток
Простейшими орнаментальными мотивами розеток являются симметричные фигуры с инвариантной точкой, соответствующие группам симметрии Cn и Dn. В интерпретации Шубникова они обозначаются n и nm соответственно [1].
Рис. 1. Вариации символа Солнца, найденные на артефактах палеолита и неолита
Непрерывная симметрия орнамента розеток D∞ (∞m) соответствует максимально симметричной фигуре - правильному кругу. Благодаря визуальной простоте круг является первичной геометрической фигурой - геометрическим архетипом. Форма круга появляется в эпоху палеолита как самостоятельная форма, иногда в сочетании с другими концентрическими окружностями с меньшей степенью симметрии, как правило, вписанной в круг. Группа D∞ (∞m) содержит в себе все остальные группы симметрии розеток в качестве подгрупп. Также благодаря простым визуальным характеристикам (полнота, компактность, ограниченность и однородность), круг служит универсальным символом совершенства. Возможно, потому наиболее ранние изображения круга являются символами Солнца.
Рис. 2. Символы Солнца
Розеточный орнамент типа C∞ (∞) образуется равномерным вращением элементов вокруг фиксированной точки. Вршение со смещением относительно центральной точки образует другую древнейшую фигуру - спираль - старейший динамический визуальный символ. В физическом смысле спираль предполагает вращательное движение вокруг инвариантной точки и выражается формулой C∞ (∞). В декоративном искусстве спиралевидные рисунки прослеживаются в палеолитических памятниках как независимый орнаментальный мотив. Иногда это двойная спираль по типу C2 (2).
Среди элементарных геометрических форм линейные сегменты, как правило, размещаются в соответствии с естественными направлениями - вертикальные и горизонтальные линии. Линейным сегментам соответствует группа симметрии D2 (2m), генерируемая двумя зеркальными отражениями: перпендикулярно и параллельно к линии сегмента. Однако, с точки зрения визуального восприятия, построение композиции относительно вертикальной линии кажется соответствующей D1 (m). Сочетание вертикальной и горизонтальной линии образует композиция в форме креста с группой симметрии D1 (m), D2 (2m) или D4 (4n). Розетки с симметрией по типу D2 (2m) и D4 (4m) обладают еще одним фундаментальным свойством: существование взаимно перпендикулярных, вертикальных и горизонтально отраженных линий. Крестообразная форма с группой симметрии по типу D4 (4m), зачастую субъективно воспринимается как симметрия по типу D2 (2m).
Статические розетки с группой симметрии D1 (m) или D2 (2m) очень походят на вариант плоскостного видения симметрии человеческого тела, судя по соотношению вертикальной оси, опущенной на перпендикулярное основание. Также помимо рациональной зеркальной симметрии, которая подсмотрена, очевидно, в природных мотивах, в орнаментальном искусстве нередко встречаются различные аспекты символической симметрии D1 (m): дублированные (или отзеркаленные) цифры, двухголовые животные и др. Их композиция основывается на доминантной вертикальной линии.
В орнаментах палеолита встречаются розетки с группой симметрии по типу Dn (nm): D3 (3m), D4 (4m) and D6 (6n). Также имеются образцы полигонального построения, основанного на регулярном расположении равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников (рис. 3). Принцип кристаллографического ограничения, то есть n=1,2,3,4,6, в случае полигонального моделирования, не соблюдается, зато преобладают розетки с группой симметрии по типу Dn (nm) для указанных значений n.
В более позднюю эпоху неолита встречаются розетки с группой симметрии по типу Ds (Sm), использующих правильные пятиугольники и пентаграмму. Самая первая в истории искусства пентаграмма датируется Н.С.М. Коксетером [2, с. 8] 7-м веком до нашей эры и им же характеризуется как форма статичная, стабильная, с отсутствием энантиоморфизма - повторяющейся зеркальной (в данном случае правой и левой) модификации одной и той же фигуры.
В отличие от статической композиции розеток с группой симметрии по типу Dn (nm), розетки типа Cn (n), например триквера C3 (3), и свастика типа C4 (4), имеют композицию динамическую. В них сесть возможность энантиоморфизма, трансформации на основе вращательного движения (рис. 3).
На следующем этапе развития декоративно-прикладного искусства, очевидно после понимания геометрических закономерностей, разнообразие орнаментального составляющего розеток увеличивается. Стилистика композиций обогащается за счет введения растительных и зооморфных мотивов. Кроме того, наблюдается десимметризация.
Рис. 3. Вверху образцы розеток по типу Cn (n) и Dn (nm) эпох палеолита и неолита, найденных на территории Европы и Средней Азии: a) D4 (4m); b) D2 (2m) и D4 (4m); c) C2 (2); d) C4 (4). Внизу неолитические антисимметричные розетки D8/C8, Хаджи Мохаммед, ок. 5000 до н.э.
Среди неолитической цветной керамики встречаются монохроматические образцы антисимметричных розеток (рис. 3). В этом случае антисимметрия может рассматриваться либо в качестве стремления к десимметризации для получения подгруппы симметрии с индексом 2, либо как самостоятельная группа симметрии. Согласно ряду антисимметрийных групп, каждая группа обозначается как G/H. Фактор-группа G/H изоморфна циклической группе 2-го порядка (чередование цвета "черный-белый"). Отсюда мы имеем следующие группы антисимметричных розеток: D2n/Dn (2nm/nm) =(2n)'m; Dn/Cn (nm/n) = nm'; C2n/Cn (2n/n) = (2n)'.
Если рассматривать эти антисимметрийные группы с точки зрения кристаллографии, то чередование черного и белого может интерпретироваться как переменное изменение бивалентного свойства. С точки зрения искусства орнамента упомянутое чередование цвета понимается как отношение "спереди - сзади", "вверху - внизу" и т.д. С художественной точки зрения - это контраст между повторяющимися конгруэнтными фигурами, эквивалентный соотношению "фигура - фон". В любом случае мы имеем символическое выражение двойственности, динамического конфликта.
Использование цвета, цветовой симметрии и антисимметрии в искусстве орнамента открывает большую не исследованную область. Эпоху неолита в этом отношении может рассматриваться как своего рода переломный этап, в ходе которого решение некоторых инженерных и конструкторских вопросов открыло новые возможности для творчества.
Следующая глава полностью посвящена симметрии бордюров.
Список всех четырех глав:
Источники
- 1. Shubnikov A.V., Koptsik V.A., Symmetry in Science and Art, Plenum, New York, London, 1974.
- 2. Coxeter H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, Cambridge, 1974.