Сегодня опубликован новый вариант классической задачи Монти Холла, получивший широкое обсуждение в среде любителей головоломок и искусственного интеллекта. Стандартная версия задачи связывается с выбором одной из трёх дверей: за одной — автомобиль, за двумя — козы. После первоначального выбора ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой он знает, что находится коза, и предлагает поменять выбор.

Непривычная цель: не автомобиль, а редкая коза

В новом варианте меняется цель игрока. Вместо стремления выиграть автомобиль игрок знает, что одна из коз представляет собой бывшее эксцентричного миллиардера любимое животное и имеет для него огромную ценность, гораздо большую, чем автомобиль. Ведущий об этом не знает. После того как ведущий открывает одну из дверей и показывает обычную козу, игроку снова предлагают поменять выбор. Вопрос: стоит ли менять дверь, если вашей целью является именно найти редкую козу?

Интересный результат: стратегия меняется в зависимости от желаемого выигрыша. При желании выиграть автомобиль имеет смысл менять выбор — этим можно удвоить вероятность успеха с 1/3 до 2/3. Однако если целью является редкая коза, рациональная стратегия оказывается противоположной — лучше остаться при первоначальном выборе.

Пояснение через частоты

Автор объясняет это с помощью частотного подхода, приводя модель на большом числе повторов. Допустим, игра воспроизводится 3000 раз. Тогда исходя из равномерного распределения:

  • в 1000 играх первоначально выбранная дверь будет с автомобилем;
  • в 1000 играх — с обычной козой;
  • в 1000 играх — с редкой «золотой» козой.

Далее рассматривается, как часто ведущий открывает дверь с обычной козой при каждом из этих сценариев. Если ваша первоначальная дверь содержит автомобиль, ведущий случайно открывает одну из двух дверей с козами, и в половине таких случаев он покажет обычную козу (500 раз). Если вы изначально выбрали обычную козу, ведущий не может открыть дверь с обычной козой (0 раз). Если же вы изначально выбрали редкую козу, ведущий обязательно откроет дверь с обычной козой (1000 раз). В сумме дверь с обычной козой открывается 1500 раз.

При этом, если вы останетесь при первоначальном выборе, выигрыш редкой козы произойдёт в 1000 случаях из 3000 (вероятность 1/3), а при смене — только в 500 случаях (вероятность 1/6). Для достижения цели получить редкую козу выгоднее не менять выбор.

Значение для теории принятия решений и популярной науки

Этот вариант показывает, что интуиция и оптимальная стратегия в вероятностных задачах сильно зависят от критериев выигрыша. То, что работает для одной цели (максимизировать шанс на автомобиль), может быть абсолютно неверно для другой (максимизировать шанс на редкую козу).

Автор отмечает, что стандартная задача Монти Холла, по данным искусственного интеллекта, остаётся самой обсуждаемой развлекательной математической задачей в истории, и приветствует интерес к её модификациям. Разработчик головоломки сообщает, что публикует новые задачи по понедельникам через одну неделю и что он постоянно в поиске новых увлекательных задач.